Παναγιώτης Π. Χριστόπουλος
Πρόσφατα με μια ομάδα του Νομισματικού Μουσείου, επισκεφτήκαμε την κάτω Ιταλία και την Σικελία, η οποία είναι το μεγαλύτερο νησί της Μεσογείου. Επισκεφτήκαμε πόλεις που ίδρυσαν τον 8ο π.Χ. αιώνα οι Έλληνες, όπως οι Συρακούσες, ο Σελινούντας, η Ιμέρα, η Μεσσήνα, η Γέλα, ο Ακράγας, η Νάξος, η Εγέστη, το Ιππώνιο, ο Τάραντας που μαζί με τις πόλεις της κάτω Ιταλίας αποτελούσαν τη «Μεγάλη Ελλάδα».
Περάσαμε τα στενά της Σκύλας και της Χάρυβδης, τα νησιά του Αιόλου (γνωστά από τη μυθολογία). Επισκεφτήκαμε το Παλέρμο που είναι η πρωτεύουσα και άλλες πανέμορφες πόλεις με ιστορία όπως την Ταορμίνα, Λέτσε, Ρήγιο, Ελληνόφωνα χωριά, Μεταπόντιο, Σύβαρη. Στον Ακράγαντα θαυμάσαμε το ναό της Ομόνοιας, της Ήρας, του Δία, των Διόσκουρων, του Ηρακλή. Στις Συρακούσες το Βωμό του Ιέρωνα και το αρχαίο θέατρο, το νησί της Ορτυγίας με το ναό του Απόλλωνα το μακροβιότερο λειτουργικό ναό στον κόσμο, το ναό της Αθηνάς, το μουσείο Αρχιμήδη, την πηγή Αρεθούσα. Στη Σικελία κατοικούσαν Έλληνες, Φοίνικες αλλά είχαν βλέψεις και οι Καρχηδόνιοι. Νησί πλούσιο με πολλές ομορφιές που νιώθεις θαυμασμό για την ιστορία του και ένα δέος το οποίο συμπληρώνεται με την θέα τις επιβλητικής Αίτνας. Η Σικελία επειδή έχει σχήμα τριγώνου, νησί με τρία ακρωτήρια (τρία άκρα), ονομάστηκε «Θρινάκρια ή Τρινάκρια» ή Θρινακία κατά τον Όμηρο. Οι Συρακούσες είναι πόλη της Σικελίας, στο νοτιοδυτικό άκρο κοντά στην Αίτνα. Ιδρύθηκε το 733 π. Χ. από τους Κορίνθιους. Ήταν η σημαντικότερη πόλη της Μεγάλης Ελλάδας. Ήταν μία από τις ακμαιότερες, πλουσιότερες και δυνατότερες Ελληνικές πόλεις της Σικελίας μέχρι την υποδούλωσή της το 212 π. Χ. από τους Ρωμαίους. Ὁ Κικέρων την αποκάλεσε «Ωραιοτάτην και καταστόλιστον πόλιν». Στις Συρακούσες έζησε ο Αρχιμήδης τον οποίο σκότωσε στην εξέγερση τους το 212 π. Χ., στρατιώτης των Ρωμαίων τη στιγμή μάλιστα που ο Αρχιμήδης έλυνε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα λέγοντάς το περίφημο «Μη μου τους κύκλους τάραττε»
.
Ο Αρχιμήδης [287 π.Χ.-212 π.Χ.] ήταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς, φυσικούς και μηχανικούς της αρχαιότητας. Γεννήθηκε, έζησε και πέθανε στις Συρακούσες. Πατέρας του ήταν ο αστρονόμος Φειδίας που είχε συγγένεια με το βασιλιά των Συρακουσών, Ιέρωνα Α΄. Παρ' όλο που καταγόταν από ευγενική γενιά, ο Αρχιμήδης δεν πήρε οποιοδήποτε αξίωμα, επιμένοντας να διαθέτει όλο του τον χρόνο στη σπουδή και τη μάθηση. Γι' αυτόν τον λόγο ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους εκεί επιστήμονες, τον Ερατοσθένη, τον Κόνωνα κ. ά.
Το έργο του Αρχιμήδη είναι τεράστιο. Το σημερινό επίπεδο γνώσεων στην επιστήμη και την τεχνολογία έχει τις ρίζες στα έργα του Αρχιμήδη. Παλαιότερα όπως έκλεβαν αγάλματα από την Ελλάδα για να στολίσουν τα μουσεία τους, έτσι έκλεψαν και τις ιδέες του Αρχιμήδη και άλλων μεγάλων της Αρχαίας Ελλάδας για να προβληθούν ότι τα επινόησαν. Ο Αρχιμήδης συνέδεσε το όνομά του με τη γένεση της μηχανικής, τη λύση μαθηματικών προβλημάτων, καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του. Έγραψε τα πρώτα βιβλία για την επίπεδη γεωμετρία και στερεομετρία, την αριθμητική και τα Μαθηματικά. Επίσης ανακάλυψε την άνωση, το ειδικό βάρος και το μοχλό. Είναι γνωστή η ιστορία με το χρυσό στέμμα του βασιλιά, τη φράση «Εύρηκα- Εύρηκα» καθώς και το «Δως μοι πα στώ και τα Γαν κινάσω» (= Δώστε μου ένα σημείο να στηριχθώ και θα κινήσω τη Γη). Ο Αρχιμήδης επινόησε τη μέθοδο της εξάντλησης για τον υπολογισμό της περιοχής κάτω από τόξο παραβολής, το άθροισμα άπειρης σειράς, μεγάλη προσέγγιση για τον αριθμό π, ένα ευφυές σύστημα για την έκφραση πολύ μεγάλων αριθμών και ακόμα μηχανές, οδομετρητές, παιχνίδια, ένα πλανητάριο με γρανάζια, το ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι), ρολόγια σαν το μηχανισμό των Αντικυθήρων, το γρανάζι της Σαρδηνίας, κ.ά. Ο Κικέρων κάνει λόγο για μια ουράνια σφαίρα και ένα πλανητάριο, που έφερε στη Ρώμη ο Μαρκέλλος μετά την κατάληψη των Συρακουσών, τα οποία είχε κατασκευάσει ο Αρχιμήδης. Το έργο «Σφαιροποιία» στο οποίο περιγράφονταν οι αρχές κατασκευής τους χάθηκε. Άραβες επιστήμονες, αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά και έτσι διασώθηκαν αρκετά, αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί.
Το κύριο έγγραφο που περιέχει το έργο του Αρχιμήδη είναι το Παλίμψηστο του Αρχιμήδη. Το 1906, ο Δανός καθηγητής Johan Ludvig Heiberg επισκέφθηκε την Κωνσταντινούπολη και εξέτασε περγαμηνή (από δέρμα κατσίκας προερχόμενη από την Ιερουσαλήμ), γραμμένη τον 13ο μ.Χ. αιώνα, η οποία περιείχε 174 σελίδες. Τελικά ανακάλυψε ότι η περγαμηνή ήταν ένα παλίμψηστο, δηλαδή ένα έγγραφο με κείμενο το οποίο είχε γραφεί πάνω σε μια σβησμένη παλιά εργασία. Τα παλίμψηστα(πάλιν ψάω=πάλι ξύνω) δημιουργούνταν ξαίνοντας το μελάνι από τα αρχικά έργα των περγαμηνών και τα επαναχρησιμοποιούσαν. Αυτή ήταν μια συνηθισμένη πρακτική στον Μεσαίωνα, καθώς η περγαμηνή ήταν αρκετά ακριβή. Τα έργα στο παλίμψηστο διαβάστηκαν με ειδικές μεθόδους. Οι πραγματείες του Αρχιμήδη στο παλίμψηστο είναι: Περί επιπέδων ισορροπιών, περί ελίκων, κύκλου μέτρησις, περί σφαίρας και κυλίνδρου, περί των επιπλεόντων σωμάτων, περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη, η έφοδος και το Στομάχιον, στην αττική και δωρική διάλεκτο.Η περγαμηνή, πριν να πωληθεί σε ιδιώτη συλλέκτη το 1920, ήταν για εκατοντάδες χρόνια σε μια μοναστηριακή βιβλιοθήκη στην Κωνσταντινούπολη. Στις 29 Οκτωβρίου 1998, πωλήθηκε σε δημοπρασία σε έναν ανώνυμο αγοραστή για 2 εκατομμύρια δολάρια από τον οίκο Κρίστις, στη Νέα Υόρκη. Το παλίμψηστο φυλάσσεται στο Walters Art Museum της Βαλτιμόρης και είναι στη διάθεση της επιστήμης. Το 75 π. Χ., 137 χρόνια μετά το θάνατο του Αρχιμήδη, ο Ρωμαίος ρήτορας Κικέρων αφού κανένας από τους ντόπιους δεν ήξερε τη θέση του τάφου του Αρχιμήδη έψαξε τον βρήκε ανάμεσα σε θάμνους διέταξε να τον καθαρίσουν και αναφέρει ότι επιστεφόταν από μια σφαίρα εγγεγραμμένη στο εσωτερικό ενός κυλίνδρου. Ο Αρχιμήδης είχε αποδείξει ότι ο όγκος της σφαίρας είναι τα 2/3 του όγκου του κυλίνδρου και η επιφάνειά της τα 2/3 της επιφάνειας του κυλίνδρου, αυτό θεωρείται ως το μεγαλύτερο των μαθηματικών επιτευγμάτων του.
Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν κατορθώσει το ακατόρθωτο ήταν: φιλόσοφοι, ρήτορες, πολιτικοί, τεχνίτες, επιστήμονες υψηλού επιπέδου, αστρονόμοι, μαθηματικοί, φυσικοί, γιατροί, αρχιτέκτονες, έμποροι, ναυπηγοί, γνώριζαν τις ιδιότητες υλικών, φυτών, ζώων και ανθρώπων. Έσκαψαν σήραγγες, έφτιαξαν μηχανές, αυτοματισμούς, πολύπλοκους μηχανισμούς με γρανάζια, βρήκαν τρόπους για τις μεταφορές, ταξίδεψαν μακριά από τα εθνικά τους σύνορα για να μάθουν τις γνώσεις άλλων λαών και πολιτισμών. Εκείνο που θαυμάζει κανείς περισσότερο είναι με πόση επιδεξιότητα χρησιμοποιούσαν αυτή τη γνώση.
⦁ Τα βόδια στους κάμπους των Συρακουσών… ο Αρχιμήδης και ο Νεύτωνας.
Ας θαυμάσουμε τον Αρχιμήδη σε αυτό το πρόβλημα. Πόσα βόδια βόσκουν στα λιβάδια της Σικελίας; «Αν είσαι, ώ ξένε μου, σοφός κι ο νους σου κατεβάζει, σκέψου καλά και μέτρησε πόσα είναι τα βοοειδή του αφέντη της γης του Ήλιου, που βόσκουνε σε τέσσερα κοπάδια μοιρασμένα στους κάμπους του όμορφου νησιού της Θρινακρίας (Σικελίας) και που έχει το καθένα τους αλλιώτικο το χρώμα. Το πρώτο λάμπει και είναι λευκό σαν γάλα, το δεύτερο είναι μαύρο, το άλλο είναι όμορφο ξανθό ενώ το τέταρτο κοπάδι είναι παρδαλό.»
Αυτά γράφει ο Αρχιμήδης προς τους Αλεξανδρινούς μαθηματικούς, ύστερα συνεχίζει με τη διατύπωση του προβλήματος και στο τέλος καταλήγει «Και τώρα, ξένε μου, αν βρεις πόσα είναι τα βόδια του Ήλιου, θα σε δεχτώ για μάστορη στων αριθμών την τέχνη».
Ο Αρχιμήδης συνήθιζε να στέλνει επιστολές από τις Συρακούσες όπου ζούσε στον Ερατοσθένη και τον Κόνωνα για τους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας. Οι επιστολές περιείχαν τις εκφωνήσεις δικών του θεωρημάτων χωρίς τις αποδείξεις τους. Ήθελε, πριν στείλει το νέο του κάθε φορά βιβλίο με τις αποδείξεις, να τους δίνει την ευκαιρία ώστε να τα διερευνούν. Σε μερικά θεωρήματα ο Αρχιμήδης δεν δίνει την σωστή απάντηση, γιατί κάποιοι μαθηματικοί στην Αλεξάνδρεια είχαν την κακή συνήθεια να τα παρουσιάζουν ως δικά τους.
Έτσι φτιάχνει προβλήματα στα οποία βάζει διάφορες παγίδες και πονηριές. Ένα τέτοιο πρόβλημα που έφτιαξε με μεγάλη πονηριά και μαεστρία είναι το βοεικό πρόβλημα που με επιστολή του έστειλε στον Ερατοσθένη. Το 1769 ο Γερμανός Gotthold Ephraim Lessing (1729-1781) έφερε στο φως το πρόβλημα αυτό όταν ανακάλυψε ένα βυζαντινό χειρόγραφο του 14ουαιώνα το οποίο περιείχε 4 άγνωστα ποιήματα της Παλατινής Ανθολογίας. Το χειρόγραφο αυτό βρίσκεται στη βιβλιοθήκη του Wolfenbuttel της βόρειας Γερμανίας. Σημαντικότερο από τα 4 ποιήματα είναι αυτό του Αρχιμήδη. Πρόκειται για πρόβλημα απροσδιορίστου αναλύσεως. Είναι γραμμένο στην Ιωνική διάλεκτο, με ελεγειακό μέτρο και αποτελείται από 22 δίστιχα. Σύμφωνα με την παράδοση, τα βόδια αυτά, τα βόδια του θεού Ήλιου, έβοσκαν στη Σικελική πόλη Ταορμίνα βόρεια των Συρακουσών. Το ποίημα αυτό έμεινε γνωστό στην Ιστορία ως «βοεικό πρόβλημα». Το πρόβλημα δεν έχει καμία δυσκολία για να καταστρώσει κανείς τις 7 εξισώσεις από τα δεδομένα που είναι: Να υπολογίσεις πόσοι είναι οι ταύροι και πόσες οι αγελάδες, σε κάθε ένα από τα τέσσερα κοπάδια των βοοειδών.
⦁ Ο αριθμός των λευκών ταύρων ήταν όσο το άθροισμα του 1/2 και του 1/3 των μαύρων ταύρων, συν το σύνολο των ξανθών ταύρων.
⦁ Ο αριθμός των μαύρων ταύρων ήταν όσο το άθροισμα του 1/4 και του 1/5 των ποικιλόχρωμων ταύρων, συν το σύνολο των ξανθών ταύρων.
⦁ Το πλήθος στους ποικιλόχρωμους ταύρους ήταν όσο το άθροισμα του 1/6 και του 1/7 των λευκών ταύρων, συν το σύνολο των ξανθών ταύρων .
⦁ Ο αριθμός των λευκών αγελάδων ήταν τόσες, όσο το άθροισμα του 1/3 και του ¼ του πλήθους του μαύρου κοπαδιού.
⦁ Οι μαύρες αγελάδες ήταν τόσες, όσο το άθροισμα του ¼ και του 1/5 του πλήθους του ποικιλόχρωμου κοπαδιού.
⦁ Οι ποικιλόχρωμες αγελάδες ήταν τόσες, όσο το άθροισμα του 1/5 και του 1/6 του πλήθους του ξανθού κοπαδιού.
⦁ Οι ξανθές αγελάδες, ήταν τόσες, όσο το άθροισμα του 1/6 και του 1/7 του πλήθους του λευκού κοπαδιού.
Όταν συναθροίζαμε στους κάμπους της Θρινακίας ξανθούς και ποικιλόχρωμους ταύρους και τους στοιχίζαμε με τέτοιο τρόπο ώστε, στην κορυφή να στέκι ένας, πιο πίσω βάζαμε σε σειρές τη μια δυο ταύρους, την άλλη τρεις, την επόμενη τέσσερεις και πάει λέγοντας, στο τέλος σχηματίζαμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Όσο για τους λευκούς και για τους μαύρους ταύρους, όταν τους συναθροίζαμε, μπορούσαμε να τους διατάξουμε σε σειρές ίσες στον αριθμό στο μήκος και στο πλάτος.
Πού όμως είναι η δυσκολία; Αυτό που δεν αντιλαμβάνεται ο ανυποψίαστος λύτης, είναι ότι ο Αρχιμήδης επέλεξε με τέτοια μαεστρία τα δεδομένα του προβλήματος ώστε η απάντηση να είναι πολύ μεγάλος αριθμός. Το πρόβλημα λύθηκε 23 αιώνες μετά, το 1965 που είχαμε τους πρώτους ισχυρούς ηλεκτρονικούς υπολογιστές και έγινε εφικτή η καταγραφή των αριθμών. Πρόκειται για οκτώ αριθμούς με 200.000 ψηφία ο καθένας.
⦁ Η λύση: Το πρόβλημα ζητά να υπολογιστούν οι ταύροι και οι αγελάδες από κάθε χρώμα: λευκό, μαύρο, ξανθό, ποικιλόχρωμο. Ας συμβολίσουμε το πλήθος με τα γράμματα: Λ=(λευκό), Μ=(μαύρο), Ξ=(ξανθό), Π=(ποικιλόχρωμο) για τους ταύρους και αντίστοιχα λ, μ, ξ, π για τις αγελάδες. Στην αρχή προκύπτουν γραμμικές σχέσεις μεταξύ των αγνώστων που οδηγούν σε ένα σύστημα 7 εξισώσεων με 8 αγνώστους, αλλά στο δεύτερο μέρος του προβλήματος ζητά να προσδιοριστεί εκείνη η λύση η οποία ικανοποιεί δύο ακόμα συνθήκες, να είναι το (Λ+Μ) τέλειο τετράγωνο και το (Ξ+Π) να είναι τρίγωνος αριθμός: Λ=(1/2 + 1/3)Μ+Ξ, Μ=(1/4+1/5)Π+Ξ, Π=(1/6+1/7)Λ+Ξ, λ=(1/3+1/4)(Μ+μ), μ=(1/4+1/5)(Π+π), π=(1/5+1/6)(Ξ+ξ), ξ=(1/6+1/7)(Λ+λ)
⦁ Η γενική λύση είναι: Λ=2*7*53*4.657ν=10.366.482ν, Μ=2*32*89*4.657ν=7.460.514ν, Ξ=22*5*79*4.657ν=7.358.060ν, Π=34*11*4.657ν=4.149.387ν, λ=23*3*5*7*23*373ν=7.206.360ν, μ=2*32*17*15.991ν=4.893.246ν, ξ=22*3*5*7*11*761ν=3.515.820ν, π=32*13*46.489ν=5.439.213ν
με ν συμβολίζεται η απροσδιόριστη παράμετρος που με την τιμή ν=80 ικανοποιούνται οι 7 γραμμικές εξισώσεις όχι όμως και το δεύτερο μέρος του προβλήματος που απαιτεί να είναι το άθροισμα (Λ+Μ) τέλειο τετράγωνο και το άθροισμα (Ξ+Π) να είναι τρίγωνος αριθμός. Η τιμή της παραμέτρου ν που ικανοποιεί την πρώτη από τις δυο συνθήκες είναι: ν=3*11*29*4.657*λ2 όπου λ ακέραιος αριθμός.
Η δεύτερη συνθήκη μας οδηγεί σε μια εξίσωση Pell της μορφής x2 - Dy2=1, συγκεκριμένα την
x2 - 410.286.423.278.424y2 =1 η οποία δεν είναι καθόλου εύκολο να λυθεί.
Το πλήθος των ταύρων και των αγελάδων κάθε χρώματος είναι πάρα πολύ μεγάλο και για λόγο αυτό είναι αδύνατο να τις προσδιορίσει κανείς χωρίς την χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή. Η λύση με τη μικρότερη τιμή στο πλήθος βοδιών εκφράζεται με τον αριθμό 7766 ο οποίος ακολουθείται από 206541 μηδενικά.
⦁ Το πρόβλημα με τα βόδια του Νεύτωνα
Ισαάκ Νεύτων (1643-1727). Ο Νεύτωνας και ο Αρχιμήδης μπορούμε να πούμε υπήρξαν οι μεγαλύτεροι επιστήμονες που από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, είχε η ανθρωπότητα. Ο Νεύτωνας είχε διατυπώσει διάφορα προβλήματα και μάλιστα κρατούσε σημειώσεις στα Ελληνικά. Ο Νεύτωνας μεταξύ των άλλων έθεσε και το πρόβλημα σχετικά με την κίνηση των βλημάτων στον αέρα. Το 2012 ένας 16χρονος Ο Sourigia Rey, που γεννήθηκε στην Ινδία κατάφερε να λύσει το πρόβλημα και να υπολογίσει ακριβώς την πορεία ενός βλήματος κάτω από την επίδραση της βαρύτητας και της αντίστασης του αέρα, σε μια εργασία του σε σχολείο της Γερμανίας όπου φοιτούσε. (έλυσε και ένα δεύτερο πρόβλημα που έχει να κάνει με την κρούση ενός σώματος σε τοίχο). Χιλιάδες σελίδες από τα ιστορικά χειρόγραφα του Νεύτωνα διατηρεί το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ όπου δίδασκε και είναι προσβάσιμα στο Διαδίκτυο.
Μεταξύ αυτών βρίσκεται η πρωτότυπη τυπωμένη έκδοση του αριστουργήματός του «Principia Mathematica» (Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας), μαζί με τις εμβόλιμες σχετικές χειρόγραφες σημειώσεις και απαντητικά σχόλια στους επικριτές του, που ο ίδιος είχε κάνει πάνω στο δικό του αντίτυπο. Στο σημειωματάριο του Νεύτωνα και συγκεκριμένα στις σημειώσεις που κρατούσε όταν σπούδαζε στο Trinity College από το 1661 έως το 1665 βλέπει κανείς ότι ο Ισαάκ Νεύτων έγραφε Ελληνικά.Ας δούμε όμως το πρόβλημα
Σε 12 ημέρες 75 βόδια κατανάλωσαν όλο το χορτάρι που υπήρχε σε ένα λιβάδι 60 στρεμμάτων καθώς και το χορτάρι που φύτρωσε κατά τη διάρκεια αυτών των 12 ημερών. Σε 15 ημέρες 81 βόδια κατανάλωσαν όλο το χορτάρι που υπήρχε σε ένα λιβάδι 72 στρεμμάτων καθώς και το χορτάρι που φύτρωσε κατά τη διάρκεια αυτών των 15 ημερών. Πόσα βόδια θα καταναλώσουν σε 18 ημέρες το χορτάρι που υπάρχει σε ένα λιβάδι 96 στρεμμάτων, καθώς και αυτό που θα φυτρώσει στη διάρκεια των 18 ημερών; (Το χορτάρι σε κάθε στρέμμα στα λιβάδια είναι το ίδιο, επίσης φυτρώνει ομοιόμορφα και όλα τα βόδια τρώνε την ίδια ποσότητα).
Λύση: Μια λύση στο πρόβλημα είναι: Έστω λ η ποσότητα του χορταριού που φυτρώνει κάθε ημέρα σε ένα στρέμμα. Έχουμε ότι τα 75 βόδια τρώνε σε 12 ημέρες το χορτάρι 60 στρεμμάτων και το χορτάρι που φυτρώνει σε 12 ημέρες δηλαδή ποσότητα ίση με 12x60λ=720λ. Άρα τα 75 βόδια σε 15 ημέρες (12+ ) τρώνε χορτάρι 75 (60+) στρεμμάτων και ακόμη αυτό που φυτρώνει 720λ+=900λ. Δηλαδή το ένα βόδι τρώει σε 15 ημέρες χορτάρι ενός στρέμματος και 12λ ή 81 βόδια σε 15 ημέρες τρώνε χορτάρι 81 στρεμμάτων και 972λ(=81 x 12λ) (1)
Από την εκφώνηση του προβλήματος ξέρουμε ότι τα 81 βόδια τρώνε σε 15 ημέρες το χορτάρι 72 στρεμμάτων και το χορτάρι που φυτρώνει σε 15 ημέρες δηλαδή ποσότητα
15 x72λ=1080λ (2)
Από τις πιο πάνω σχέσεις (1) και (2) προκύπτει: ποσότητα χορταριού 81 στρεμμάτων και 972λ ισούται με ποσότητα χορταριού 72 στρεμμάτων και 1080λ, ή η ποσότητα χορταριού 9 στρεμμάτων ισούται με 108λ. Δηλαδή η αρχική ποσότητα χορταριού σε ένα στρέμμα είναι ίση με 12λ (=το χορτάρι που φυτρώνει σε ένα στρέμμα σε 12 ημέρες). Επομένως τα 75 βόδια σε 12 ημέρες έφαγαν το χορτάρι 60+720λ= 60+60x12λ= 60+60x1=120 στρεμμάτων, σε 18 ημέρες έφαγαν x18=180 στρεμμάτων.
Έτσι για να καταναλωθεί σε 18 ημέρες το χορτάρι 96 στρεμμάτων και (18 x 96λ=) 1728λ δηλαδή 96+144x12λ=96+144x1=240 στρεμμάτων θα βοσκήσουν x240=100 βόδια.
2η λύση: Έστω X τα βόδια με ΧєΖ. Έστω Α η αρχική ποσότητα χόρτου ανά στρέμμα. Έστω Β η αύξηση χόρτου ανά στρέμμα την ημέρα. Έστω Κ η ποσότητα χόρτου που τρώει ένα βόδι την ημέρα.
Τότε 60.Α+60.Β.12=75.12.Κ ή Κ= (1). Και 72Α+72Β.15=81.15Κ ή Κ= (2)
Από (1) και (2) έχουμε = δηλαδή Α=12Β
96.Α+96.Β.18=X.18.Κ ή 96.12Β+96.Β.18=X.18. οπότε Χ=100 βόδια.
Σχόλιο: Μπορεί να λέμε το πρόβλημα του Νεύτωνα αλλά ίσως να μην κατασκευάστηκε από τον ίδιο τον Νεύτωνα και να είναι της μαθηματικής παράδοσης.
Μια άλλη εκδοχή του προβλήματος
Έχουμε τρία λιβάδια, στο πρώτο που είναι στρέμματα βόσκουν 12 βόδια για 4 εβδομάδες, ενώ στο δεύτερο που είναι 10 στρέμματα βόσκουν 21 βόδια για 9 εβδομάδες. Πόσα βόδια είναι δυνατό να βόσκουν στο τρίτο λιβάδι που είναι 24 στρέμματα για 18 εβδομάδες; (Τα τρία λιβάδια έχουν ίδιο χορτάρι σε κάθε στρέμμα, επίσης φυτρώνει με τον ίδιο ρυθμό κάθε μέρα και όλα τα βόδια τρώνε την ίδια ποσότητα).
Μια λύση στο πρόβλημα είναι: Έστω Α η αρχική ποσότητα χόρτου ανά στρέμμα. Έστω Β η αύξηση χόρτου ανά στρέμμα την εβδομάδα. Έστω Κ η ποσότητα χόρτου που τρώει ένα βόδι την εβδομάδα. Σύμφωνα με το πρόβλημα έχουμε το σύστημα:
.Α+4..Β=4.12.Κ 10.Α+40.Β=144.Κ (1)
10.Α+9.10.Β=9.21.Κ ή 10.Α+90.Β=189.Κ (2)
24.Α+18.24.Β=18. X.Κ 4.Α+72.Β=3. X.Κ (3)
Από (1) και (2) έχουμε Α= και Β= από (3) +=3ΚX ή 108Κ=3ΚX Άρα X=36
⦁ Ένα ακόμα πρόβλημα με βόδια από την Αρχαία Ελλάδα
Τρείς έμποροι
Τρείς έμποροι πούλησαν βόδια ο Α 20, ο Β 30, ο Γ 40 όλα της ίδιας αξίας.
Μέχρι το μεσημέρι και οι τρείς πούλησαν στην ίδια τιμή. Το απόγευμα το ίδιο αλλά σε διαφορετική τιμή από την πρωινή. Οι τιμές είναι ακέραιοι θετικοί αριθμοί. Στο τέλος της ημέρας είχαν πουλήσει όλα τα βόδια και είχαν εισπράξει το ίδιο ποσό. Πως έγινε αυτό;
Λύση:
Αν α, β, γ τα βόδια αντίστοιχα που πούλησαν οι έμποροι το πρωί με Χ Ευρώ το ένα, θα είναι 20-α, 30-β, 40-γ αυτά που πούλησαν το απόγευμα με Ψ Ευρώ το ένα. Εισέπραξαν αΧ+(20-α)Ψ=βΧ+(30-β)Ψ=γΧ+(40-γ)Ψ, 2 εξισώσεις με 5 αγνώστους.
Οι εξισώσεις γίνονται (Ψ-Χ)(β-α)=10Ψ και (Χ-Ψ)(γ-β)=10Ψ από τις δύο αυτές εξισώσεις προκύπτει β-α=γ-β ή α+γ=2β που επαληθεύεται από άπειρες τριάδες ακέραιων αριθμών. Αν πάρουμε α=1 τότε β-α≥11 δηλαδή έχουν διαφορά μεγαλύτερη του 10. Αν πάρουμε β=12 έχουμε γ=23 με αντικατάσταση των τιμών στην εξίσωση έχουμε Ψ=11Χ και αν Χ=1 τότε Ψ=11. Με τις ίδιες τιμές για τα α, β, γ, και με ίδια πολλαπλάσια για τα Χ, Ψ έχουμε πάντα μια λύση. π.χ. α=1, β=12, γ=23, Χ=5, Ψ=55.
Όμως για να είναι κοντά στην πραγματικότητα οι τιμές των Χ, Ψ και ακέραιοι αριθμοί, θα πάρουμε α=2, β=17, γ=32 οπότε Ψ=3Χ και για Χ=1000€, Ψ=3000€ και ο κάθε έμπορος εισέπραξε 56000€.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου